トランプのシャッフル

毎年、中学受験の生徒に
「置換」の題材として
トランプのシャッフルの問題を
実演をしながら教えています。
今日はその内容について簡単に説明したいと思います。
置換とこの内容自体は
実際は
大学一年の線形代数で本格的に登場します。

トランプのシャッフルというのは
マジシャンがよくやる
トランプを半分に分け両側から
パタパタ落としながらトランプをきる方法です。
↑この説明でわかるでしょうか

このシャッフルを
もし仮に思いっきり丁寧に
一枚ずつ交互に落としていったら
何回で元の並び方にもどるか
というのが
私の取り上げる問題です。
まずは答えを先に言っておきますが

八回で元にもどります。
つまり
八回トランプを丁寧にきれれば
元にもどるので最初と同じ順番になり
きっていないことと同じになります。
更にその並びの七パターンを覚えれば
トランプを切ってもどこになにがあるかわかりますので
特に仕掛けをしなくてもカードあてができるのです。

今日はこのトランプのシャッフルの仕組みを少ない数の例で
書いてみたいと思います。
52枚はブログで書けないからです

例えば八枚のトランプを
12345678と並べ1234と5678の半分で分け順にパラパラ落とすと
15263748となります。これを繰り返します。つぎは1526と3748に分け
13572468のなり、次は1357と2468に分けてシャッフルすると
12345678となります。
お
これで元の順番に戻りました

これは三回で元に戻ったので周期が3ということです
トランプの52枚でやると周期が8ということで
8回で元に戻ります。
上の例を良く見ると巡回置換（サイクリックに繰り返す）
と恒等置換（常に一定）の二つに分けられることがわかります。
1は1→1→1と変わらず恒等置換で8も同じです。
これは周期1です。
次に二番目の数をみると2→5→3→2と循環して元に
戻っているのがわかります。
三番目の数も五番目の数もこの同じ循環で
周期が3です。
あと四番目の数も同様に4→6→7→4と
周期3で元に戻ります。

まとめますと1から8のシャッフルは
恒等置換：周期1の1と8
巡回置換：周期3の253と467
よって周期1と周期3の最小公倍数である3回で元に戻ります

また置換の種類を調べるときは
一回目の操作だけを書けばわかります。
置換には巡回置換と恒等置換しかないからです。
12345678
15263748
だけをみれば1は1にいき
2は5に行くので次に5の上の欄をみると5は3にいってます。
そして上の3の欄をみると3は2にいっているので
2→5→3→2の周期がわかります。

それではまとめとして
最後に例を書いて終わりたいと思います。
流石に52はここには書けないので16くらいにしてみます。
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16をシャッフルすると
1,9,2,10,3,11,4,12,5,13,6,14,7,15,8,16になり
周期1の恒等置換が1と16
後は巡回置換で
2→9→5→3の周期4と
4→10→13→7の周期4と
6→11の周期2と
8→12→14→15の周期4
に分類され各周期の最小公倍数は4ですので
四回のシャッフルで元に戻るとということがわかります
皆さんも色々と試してみてください。
また、何番目にいくつが来るのかもわかります。
そして更に興味のある方は一般化も試みてみると
面白い結果が待っています。
それではまた明日