算数（数学）の有名な問題～数の表し方～（解答編）

昨日の問題の解答を書きます。
広く解法が理解して頂けるように
あまり知識のいらない方法で解きます。
一応問題の確認です。

問題）
自然数ｎをそれより小さい自然数であらわすことを
考える。ただし1+1+2、1+2+1のように順序の違うもの
も別の表し方とカウントするようにする。2以上の自然数
の表し方は何通りあるか？

という問題でした。
これを高校生が解く場合には手間さえ惜しまなければ
そんなに大変ではありません。
基本的な解法としては
①漸化式をたてて解く
②分割を考える
のいずれでも解ける筈です。
大学入試を考えるとこの二つの解法はしっかり
出来て欲しいですが
数学の醍醐味というか楽しさは
発想によっては、問題が非常に簡単になる
というところにあります。

この問題も考え方によっては
1分も解くのに時間がかかりません。

（解答）
ある数n=1+1+1+1+……+1と全て1の和で表す。
（要は1がn個と+がn-1個の形に直します。）
そうすると各+記号は計算するかしないかの2通り
に場合分けされます。
全体の場合の数は2をn-1個掛ければOKですから
2のn-1乗（2*n-1）となるわけです。
但し、全部足した場合はnになってしまいますから
その1通りを引きます。
そうすると答えは2*n-1ー1通りとなります。


昨日の簡単な例で確認してみましょう。
3の場合、3＝1+1+1、1+2、2+1の3通りでした。
これは
3=1+1+1と書くと
最初の+を計算するかしないか、2番目の+を計算するか
しないかで、場合は
（最初の+,二番目の+）=（する,する）（する,しない）
　　　　　　　　　　　（しない,する）（しない,しない）
の4通りで、
そのまま計算すると
順に3,2+1,1+2,1+1+1となります。
最初の3だけ答えではないので除きます。
すると、答えの場合の数に対応していることが分かります。

このように数学や算数の問題は解き方によっては
非常に楽になる場合もあります。
試験ではなく、自分の勉強のときは
様々な解法を考えてみてくだい

タグ：数学 算数

コメント 1

確かに！すごくわかりやすい方法ですね！！。昔、中学受験で似たような問題を塾で習いましたが、確か全部書いて数えてたような気がします。勉強になりました。
by ポチの友達 (2009-11-30 19:28)