(－1）×(－1)＝＋1となるのは何故か？

マイナス掛けるマイナスが何故プラスか？
しっかりと教えてもらったことがない人が結構いるのに驚くことがよくあります。
普通の学校教育では温度や借金、ひどい学校ですと「決まり」だから
覚えろと言われるそうです。

数学の決まりは公理と言われています。(－1）×(－1)＝＋1は公理ではありません。
今回はこれを公理を使って証明します。
自然数に関する公理はペアノによって23にまとめられました。
そのうちの四つを使って証明します。

（公理） ①a×0=0
　　　　　②(+a)+(－a)=0　（マイナスの数の定義）
　　　　　③(－1)×(+1)=－1
　　　　　④a(b+c)=ab+ac（分配法則）

ここで(－1)×{(+1)×(－1)}=0を考える。
括弧内は公理②より0
∴(－1)×0=0（∵公理①より）なので(－1)×{(+1)×(－1)}=0は確かに成立。

公理④より(－1)×{(+1)×(－1)}=(－1)×(+1)＋(－1)×(－1)=0
公理③より(－1)×(+1)=－1なので(－1)＋(－1)×(－1)=0
∴公理②より（－１にたして0になるのは+1だけ）(－1）×(－1)＝＋1が示された。

このようにマイナス×マイナスがプラスになることは数学的に証明されるのです。